פעילות זו עוסקת במיון סוגי משולשים לפי זוויות, על ידי יצירת תחומים במערכת הצירים שבהם תנוע נקודה אשר ערכי ה- x וה- y שלה מציגים שתיים מזוויות המשולש.

נושא מתוכנית הלימודים: משולשים + מערכת צירים + ביטויים אלגבריים

מתאימה לכיתות: ז'-ח'

ידע נדרש: 

• סוגי המשולשים
• חישובי זוויות במשולש
• הכרת מערכת צירים
• כתיבת ביטויים אלגבריים המתארים קשר בין זוויות

שלב העברה: 

פעילות זו עוסקת בכמה נושאים: סוגי משולשים, מערכת צירים, וכתיבת ביטויים אלגבריים המתארים קשר בין זוויות המשולש. נושאים אלה נלמדים בכיתה ז'.

 בפעילות זו ניתן להתייחס גם לנושא גרף של פונקציה קווית המתארת את הקשר בין זוויות המשולש (בפרט הפונקציות  y=x , y=180-2x , x=180-2y, y=90-x  ) .

 (ראה עמוד  40   בתוכנית הלימודים של חט"ב)

לכן פעילות זו מתאימה לתלמידים בכיתות ז'-ח' כפעילות תרגול וחזרה. 

דוגמאות לפתרונות

נקודות לדיון והדגשים לעבודה עם הפעילות:

• יש לוודא שתלמידים מבינים את המעבר מייצוג נקודה על מערכת הצירים לייצוג המשולש.

במשימה 1 המטרה היא לדון עם התלמידים על סכום זוויות במשולש. כמו כן, לחשוב על הקשר בין הזוויות x ו- y במקרה שזווית z היא זווית ישרה, ועל סמך זה לעורר דיון על פונקציות ועל סוגי ישרים (פונקציה קווית יורדת, פונקציה קבועה = ישר מקביל לציר X, ישר מקביל לציר Y).  

יש לדון במקרים השונים התומכים בטענה הנתונה:

• מקרה 1 שבו זווית y היא הישרה. במקרה זה הקטע צריך להיות מקביל לציר x. 

ניתן להתייחס לביטוי האלגברי המתאר את הישר y=90 שכולל את כל הקטעים המקיימים את הטענה, ובמידת האפשר להתייחס לכך שהישר הוא גרף של פונקציה קבועה. 

• מקרה 2 שבו זווית x היא הישרה. במקרה זה הקטע צריך להיות מקביל לציר y. ניתן להתייחס לביטוי האלגברי המתאר את הישר x=90  שכולל את כל הקטעים המקיימים את הטענה, ובמידת האפשר להתייחס לכך שהישר לא מתאר פונקציה.
• מקרה 3 שבו זווית z היא הישרה. במקרה זה הקטע צריך להיות על הישר x+y=90.  במידה והתלמידים לא מגישים דוגמאות שבהן זווית z היא הישרה, יש לדון במקרה זה ובמידת האפשר לדבר על הפונקציה הקווית y=90-x  

במשימה 2 המטרה היא למצוא את התחום שבו כל המשולשים עונים על הדרישה של הטענה, לדון במקרים השונים והאם התחום מכיל את כל המשולשים האפשריים. 

• בכל אחת מהטענות 1,2,4 – מי מהזוויות של המשולש היא הזווית הקהה? 
• האם כל המשולשים בתוך המשולש הצבעוני שיצרתם תומכים בטענה? 
• למה המשולש הצבעוני שיצרתם תמיד תומך בטענה?  
• האם קיים משולש צבעוני גדול יותר מהמשולש שיצרתם שגם תומך בטענה?
• מה הוא ערך ה- x המינימלי/המקסימלי ומה הוא ערך ה- y המינימלי/המקסימלי בכל אחד מהמשולשים הצבעוניים שיצרתם?

במשימה 3 המטרה היא לבדוק אם התלמיד מכיר את התכונות של משולש שווה שוקיים, ולדון בקשר בין הזוויות במשולש כזה.  

מטרה נוספת היא לעורר דיון לגבי מיקום כל הנקודות במערכת הצירים המקיימות שוויון בין שתי זוויות במשולש.   

• בטענה 1 – מה הוא הקשר בין הזוויות x ו- y ?
• בטענה 2 – מה צריכים להיות ערכי y כדי ש- z=x ? 
• בטענה 3 – מה צריכים להיות ערכי x כדי ש- y=z ?  

במשימה 4  המטרה היא לדון במיקום של כל הנקודות במערכת הצירים המקיימות שוויון בין שתי זוויות במשולש, ולדבר על שלושת המקרים: זווית x היא הראש, זווית y היא הראש, זווית z היא הראש. 

• יש לדון בכל המקרים המקיימים את הטענה (המקרים שהופיעו במשימה הקודמת), בנוסף, יש לדון על הקשר בין זוויות המשולש ולנסח ביטויים אלגבריים מתאימים המתארים פונקציות:

1. כאשר זווית z היא זווית הראש = קטע שכל נקודה עליו מקיימת שערכי ה- x וה- y שלה שווים (חלק מישר שהוא פונקציה עולה y=x ) 
2. כאשר זווית x היא זווית הראש = קטע שכל נקודה עליו מקיימת שערכי ה- z וה- y שלה שווים  (חלק מישר שהוא פונקציה יורדת  x=180-2y ) 
3. כאשר זווית y היא זווית הראש = קטע שכל נקודה עליו מקיימת שערכי ה- z וה- x שלה שווים (חלק מישר שהוא פונקציה יורדת  y=180-2x) 

• אפשר לדון בתכונות הפונקציות השונות (שיפוע שונה, פונקציה עולה/יורדת): 

y=x , x=180-2y , y=180-2x 

במשימה 5 המטרה היא למצוא את התחום שבו כל המשולשים עונים על הדרישה של הטענה (משולש שווה שוקיים וגם חד זוויות) והאם התחום מכיל את כל המשולשים האפשריים.

• יש לוודא שהתלמידים מבינים את תהליך הפתרון: צריך קודם כל למצוא את התחום שבו כל המשולשים הם חדי זוויות – שזה המשולש החום שבו ערכי ה- x קטנים מ- 90 וגם ערכי ה- y קטנים מ- 90  (מצאנו במשימה 2 טענה 3), לאחר מכן למקם את הקטע על חלק מהישר שעליו נמצאות כל הנקודות היוצרות משולשים שווה שוקיים- שזה הישר y=x  או הישר y=180-2x או הישר x=180-2y (מצאנו במשימה 4).
• יש לדון ב- 3 מקרים המקיימים את הטענה:

1. הקטע כולו במשולש החום וגם נמצא על הישר y=x
2. הקטע כולו במשולש החום וגם נמצא על הישר y=180-2x
3. הקטע כולו במשולש החום וגם נמצא על הישר x=180-2y כלומר y=90-x/2 

• במידה ולא נכתבו ביטויים אלגבריים המתארים את 3 המקרים, יש להתייחס לזה במשימה זו. 

במשימה 6 המטרה היא למצוא את התחום שבו כל המשולשים עונים על הדרישה של הטענה (משולש שווה שוקיים וגם קהה זווית) והאם התחום מכיל את כל המשולשים האפשריים.

• יש לוודא שהתלמידים מבינים את תהליך הפתרון: צריך קודם כל למצוא את כל התחומים שבהם כל המשולשים הם קהה זווית (מצאנו במשימה 2), לאחר מכן למקם את הקטע על חלק מהישר שעליו נמצאות כל הנקודות היוצרות משולשים שווה שוקיים – שזה הישר y=x  או הישר y=180-2x או הישר x=180-2y (מצאנו במשימה 4).
• יש לדון ב- 3 מקרים המקיימים את הטענה:

1. הקטע כולו במשולש הצהוב שבו ערכי ה- x  גדולים מ- 90, וגם נמצא על הישר x=180-2y כלומר y=90-x/2 .
2. הקטע כולו במשולש הסגול שבו ערכי ה- y  גדולים מ- 90, וגם נמצא על הישר y=180-2x. 
3. הקטע כולו במשולש הירוק שבו ערכי ה- x  קטנים מ- 90 וגם ערכי ה- y  קטנים מ- 90, וגם נמצא על הישר y=x. 

• איך נקודות האמצע עוזרות בפתרון?