הפעילות עוסקת במעבר מסיפור/תיאור מילולי לייצוג גרפי של פונקציה המתארת שינוי בקצב קבוע (פונקציה קווית) ושינוי בקצב משתנה (פונקציה ריבועית).

נושא הפעילות הוא תוכניות אימון במכון כושר כאשר מרימים משקולות במשקלים שונים. משקל המשקולות משתנה בין אימון למשנהו. 

נושא מתוכנית הלימודים: קצב השתנות

מתאימה לכיתות: ז'-ט'

ידע נדרש: 

קריאת גרפים

הבנת משמעות קצב שינוי קבוע ומשתנה 

שלב העברה: 

נושא השתנות של פונקציה נלמד בכיתה ז' כך שלפי תוכנית הלימודים "יש להדגים באמצעות טבלאות וגרפים כיצד פונקציה מתארת תופעה. מהכרת הפונקציה אפשר ללמוד על השתנות של תופעה….. ההשתנות של פונקציה באה לידי ביטוי בייצוג הגרפי במעבר מנקודה אחת על הגרף לנקודה אחרת עליו, ובשינוי של ערכי הפונקציה בין שתי הנקודות." בנוסף, בנושא השתנות של פונקציה בקצב אחיד ובקצב לא אחיד, תוכנית הלימודים מדגישה את הצורך בלהבדיל בין השתנות בקצב אחיד לבין השתנות בקצב לא אחיד, כשהפונקציה מיוצגת באמצעות טבלה או גרף.

" הביטוי הגרפי של קצב ההשתנות של הפונקציה הוא היחס שבין השינוי האנכי של הגרף לבין השינוי האופקי שלו. מקובל לכנות זאת קצב שינוי על פני מדרגה. גרף משתנה בקצב אחיד אם קצב השינוי הוא זהה על פני כל המדרגות, ובמקרה זה הגרף הוא קו ישר. בכל מקרה אחר, הגרף משתנה בקצב שאיננו אחיד."

אפשר להעביר את הפעילות כפעילות מקדימה לנושא פונקציות בכיתה ז', לתלמידים שלמדו נושא השתנות של פונקציה וקריאת גרפים, או לתלמידים בכיתות ח-ט אשר למדו את נושא הפונקציה הקווית. 

(ראה עמוד  42   בתוכנית הלימודים של חט"ב) 

דוגמאות לפתרונות

נקודות לדיון והדגשים לעבודה עם הפעילות:

• הפעילות עוסקת בייצוגים שונים של פונקציה קווית ופונקציה ריבועית (גרף, טבלה, מילולי), ובנוסף במשמעות שיפוע הגרף בתוך הסיפור הנתון (תיאור מילולי). בכל המשימות נתונים היגדים מילוליים כך שהתלמיד מתבקש להתאים להם גרפים ע"י שינוי הנתונים ביישומון. היישומון כולל ייצוג גרפי בעזרת נקודות, ייצוג טבלאי ואפשרות להצגת שיפוע הגרף בעזרת מדרגות.  
• משימה הראשונה היא משימה מקדימה, להיכרות עם הסיפור הכללי ולהתנסות עם היישומון והכלים המצורפים. 
• במשימה השנייה המטרה היא לבדוק אם התלמיד מבין את המשמעות של הפרמטרים (משקל התחלתי, שינוי במשקל) בתוך הסיפור הנתון. 
• המשימה השלישית והרביעית עוסקות בהבדל בין קצב שינוי קבוע לקצב שינוי משתנה. בשתי המשימות האלה, נוסף פרמטר שלישי "שינוי של השינוי" שבעזרתו ניתן להגיע לפונקציה ריבועית. 

במשימה 1:

• יש לדון במשמעות הערכים שהתלמידים הכניסו. למשל שינוי משקל גדול מאוד (לא מציאותי) או משקל שלילי (מה זה אומר?)
• יש לדון עם התלמידים לגבי השיקולים לשימוש בייצוגים השונים: המדרגות בגרף (מייצגות את השינוי בקצב), טבלת ערכים, ייצוג גרפי. מתי כל אחד מועיל ורלוונטי.
• יש לדון עם התלמידים למה הגרף הוא גרף נקודות ולא קו ישר. והאם לכל נקודה על גרף הפונקציה – בהכרח יש משמעות במציאות.

במשימה 2:

• יש לדון במשמעות של שני הפרמטרים ובמשמעות הערכים השונים (ערכים שליליים, 0 , ערכים חיוביים).
• אפשר לקשר בין התיאורים המילוליים הנתונים לבין הפרמטרים (b, m ) שהתלמידים מכירים במשוואת פונקציה קוית. 
• יש לדון בהבדל בין קצב שינוי לינארי לעומת מעריכי.

במשימה 3: 

• יש לדון במשמעות שלושת הפרמטרים והערכים השונים שלהם (שקובעים את סוג הפונקציה: קבועה, קווית, ריבועית)
• ניתן להתייחס לעניין המשך האימונים, כלומר מה קורה אחרי האימון העשירי לפי הערכים שהוזנו.

• אם רוצים להעלות את רמת הדיון – אפשר להגיע לביטוי האלגברי המתאים לגרף ע"י חישובים.

במשימה 4:

• האם התלמידים לקחו בחשבון בתשובות שלהם את הנתון שהמשקל המקסימלי שניתן להרים הוא בערך 1.5 ממשקל האדם?
• מה סוג נקודת הקיצון במקרה המתואר? ומה קורה באימונים העוקבים?

במשימה 5:

• לפי הגרפים – בלי השימוש בטבלה – איך יודעים שבאותו אימון הם הרימו אותו משקל? (נקודות מתלכדות)