רצף מתכנן משטחים מרובעים לקישוט הגינה. את המשטחים הוא יוצר באמצעות מרצפות השיש הבאות: ריבוע שחור, 4 משולשים שווי שוקיים לבנים (שבסיס כל אחד מהם מתלכד עם צלע הריבוע השחור) ו- 4 משולשים שחורים.  פעילות זו משלבת נושאים שונים בתחום הגיאומטריה והתחום המספרי: 

תכונות של מרובעים, שטחי מרובעים לפי האלכסונים המאונכים שלהם, דמיון וחפיפת משולשים, המרת יחידות מידה, וחיפוש 2 גורמים שונים לאותו מספר. 

נושא מתוכנית הלימודים: שטחי מרובעים + דמיון משולשים + חפיפת משולשים

מתאימה לכיתות: ח'-ט'

ידע נדרש: 

• תכונות של מרובעים מיוחדים (ריבוע, מעוין, דלתון, טרפז)
• חישוב שטחי מרובעים לפי האלכסונים המאונכים שלהם
• המרת יחידות מידה (ממ"ר לסמ"ר)
• חיפוש 2 גורמים שונים לאותו מספר
• דמיון וחפיפת משולשים (משימות 5+6)

שלב העברה: 

הפעילות עוסקת במשפחת המרובעים אשר אלכסוניהם מאונכים, כך שחישובי השטח של המרובעים מהמשפחה הזאת מתבסס על התכונה הזו, ושווה למחצית מכפלת האלכסונים. 

נושא זה נלמד בכיתה ט' כאחת מהתכונות של דלתון שאלכסוניו מאונכים, ומשם מסיקים שתכונה זו מתקיימת גם בריבוע ומעוין. 

כמו כן, משימות 5+6 עוסקות בשני הנושאים "דמיון משולשים" ו- "חפיפת משולשים" הנלמדים בכיתה ח'. לפי תוכנית הלימודים "יש לעסוק בבעיות המשלבות בין דמיון משולשים ובין עובדות שנלמדו בכיתה ז' ובתחילת כיתה ח' , תוך שילוב דוגמאות מחיי היומיום". בנוסף, "יש לזהות בכלים קדם-דדוקטיביים משולשים החופפים זה לזה….. יש להבין כיצד לברר האם הנתונים לגבי משולשים אלה תואמים לאחד ממשפטי החפיפה" (מתוך תוכנית הלימודים – עמ' 88+ 116)

לכן פעילות זו מתאימה לכיתה ח'-ט' כפעילות סיכום עבור תלמידים אשר למדו את תכונות המרובעים ואופן חישוב שטחים בעזרת האלכסונים. 

דוגמאות לפתרונות

נקודות לדיון והדגשים לעבודה עם הפעילות:

פעילות זו משלבת נושאים שונים בתחום הגיאומטריה ובתחום המספרי. המטרה של הפעילות היא להשתמש בידע המתמטי הזה כדי למצוא משטחים מרובעים שונים על פי שטח נדרש. 

בכל אחת מהמשימות כדאי לדון עם התלמידים לגבי הצורה שהם הגישו – האם היא מדויקת (כל התנאים המספיקים מתקיימים) או קרובה לצורה המבוקשת (מתקבלת מגרירת הסליידרים ופתרון לפי העין, בלי חישובים מדוייקים).

משימה 1: 

• יש לדון עם התלמידים מה הם התנאים המספיקים כדי שמרובע יהיה ריבוע? (אלכסונים שווים, מאונכים, וחוצים אחד את השני)
• יש לדון עם התלמידים מה הם התנאים המספיקים כדי שמרובע יהיה דלתון? (אלכסונים מאונכים, והאלכסון הראשי חוצה את המשני) 
• יש לדון עם התלמידים מה הם התנאים המספיקים כדי שמרובע יהיה טרפז שווה שוקיים? אלכסונים שווים וגם מחלקים אחד את השני באותו יחס . 
• יש לדון עם התלמידים מה הם התנאים המספיקים כדי שמרובע יהיה מעוין? (אלכסונים מאונכים, וחוצים אחד את השני – לא בהכרח שווים)

משימות 2-4:

• איך מחשבים את השטח של כל אחד מהמרובעים הנתונים (ריבוע, מעוין, דלתון) באמצעות אורכי האלכסונים? (לפי מחצית מכפלת האלכסונים)
• כדאי לדון עם התלמידים למה זה נכון. (תכונה זו מתבססת על חישובי השטחים של משולשים ישרי זווית)

משימה 5: 

• יש לדון עם התלמידים מה הם התנאים המספיקים כדי שמרובע יהיה טרפז? האלכסונים מחלקים אחד את השני באותו יחס אך לא בהכרח שווים באורכם.
• יש להראות את קיום היחס בין חלקי האלכסונים ע"י דמיון משולשים (משולשים ישרי זווית המתקבלים מחיתוך אלכסוני המרובע).

משימה 6:

משימה זו היא משימת אתגר לתלמידים מתקדמים.

• יש לדון עם התלמידים מה הם התנאים המספיקים כדי שמרובע יהיה טרפז ישר זווית? נשתמש במשפט ההפוך: אם הגובה לצלע הגדולה במשולש בריבוע שווה למכפלת החלקים של הצלע אז המשולש ישר זווית 

למשל:

EF מאונך ל GH  

נסתכל על הגובה GO במשולש EGF 

לפי דמיון המשולשים     GOF ו- GOE נקבל כי GO*GO = EO*OF    ולכן זווית EGF היא זווית ישרה . 

נסתכל על הגובה FO במשולש GFH  

לפי דמיון המשולשים  FOH ו- FOG נקבל כי FO*FO = GO*OH    ולכן זווית GFH היא זווית ישרה . 

• כדאי לדון באפשרויות השונות לזוג זוויות ישרות.