הפעילות משלבת בין תכונות של פונקציה ריבועית לנושא שטח והיקף של מלבן, והיא כוללת פתרון של בעיית קיצון של פונקציה ריבועית.

המטרה הכללית של הפעילות היא להעריך אם התלמידים מבינים תכונות של פונקציה ריבועית, ויודעים להשתמש בהן כדי למצוא דוגמאות לשדות עם תנאים שונים.

נושא מתוכנית הלימודים: תכונות של פונקציה ריבועית + שטח והיקף של מלבן

מתאימה לכיתות:ח' – י'

ידע נדרש: 

• היקף ושטח מלבן
• כתיבת ביטויים אלגבריים
• תכונות של פונקציה ריבועית

שלב העברה: 

הפעילות משלבת בין תכונות של פונקציה ריבועית לנושא שטח והיקף של מלבן, והיא כוללת פתרון של בעיית קיצון של פונקציה ריבועית. לכן, הפעילות מתאימה לתלמידי כיתה ח' עד י' אשר למדו את נושא הפונקציה הריבועית.

כמו כן, ניתן להעביר את הפעילות כלימוד נושא פתרון בעיית קיצון בעזרת תכונות של פונקציה ריבועית. 

המושגים "היקף" ו'שטח" נלמדים בבית הספר היסודי וגם בכיתה ז', כך שלפי תוכנית הלימודים "יש לעסוק בשטח של מלבן באמצעים מספריים ואלגבריים ולהדגיש את ההשתנות בשטח המלבן כתוצאה משינוי באורכי הצלעות". (ראה עמוד  18   בתוכנית הלימודים של חט"ב)

נושא כתיבת ביטויים אלגבריים נלמד בכיתה ז' הכולל הכללה של תופעות מספריות, הצבה בביטוי אלגברי ופתרון משוואות עם משתנה אחד. (ראה עמוד  5   בתוכנית הלימודים של חט"ב)

נושא תכונות של פונקציה ריבועית נלמד בכיתה ט' והוא כולל הסימטריות, קודוד הפרבולה, פתרון באמצעים אלגבריים וגרפיים, ותחומי ירידה ועלייה של הפונקציה הריבועית. (ראה עמוד  108   בתוכנית הלימודים של חט"ב)

דוגמאות לפתרונות

נקודות לדיון והדגשים לעבודה עם הפעילות:

המשימה הראשונה היא משימה מקדימה, והמטרה שלה היא להבין את הקשר בין האורך השלם של הגדר החשמלי לבין מידות השדה, תוך התחשבות בזה שיש מחיצה בין שתי החלקות.

• חשוב לחדד לתלמידים כך שצריך להשתמש בכל גדר הרשת גם לגידור החיצוני וגם לגדר המפרידה בין שתי החלקות. 

במשימה השנייה המטרה היא למצוא את הקשר בין אורך לרוחב, ולהבין שהאורך יכול להיות שווה לרוחב ויכול להיות גם קצר יותר מהרוחב.  מטרה נוספת היא לכתוב ביטוי אלגברי המתאר את הקשר בין האורך לרוחב, כהכנה למשימה הבאה שבה צריך לכתוב ביטוי אלגברי המתאר את השטח בהתאם לאורכו של השדה.

•  יש לדון בביטויים האלגבריים השונים המתארים את הקשר בין האורך לרוחב שהתלמידים הציעו.
• חשוב להדגיש ולהסביר לתלמידים שהאורך של המלבן יכול להיות שווה לרוחב ויכול להיות גם קצר יותר מהרוחב. כלומר ש"אורך" לא בהכרח הצלע הגדולה ביותר במלבן.

במשימה השלישית, המטרה היא להבין את הקשר בין אורך השדה לשטח שלו, תוך שימוש בביטוי האלגברי שהתקבל במשימה הקודמת, ולמצוא את השדה עם שטח קטן יותר משטח השדה הנתון. כמו כן, מטרה נוספת היא להבין את הקשר בין הייצוגים השונים: בין הגרף והנקודות המתקבלות במערכת הצירים לבין התיאור המילולי. 

כדאי לדון ב:

• האם הגרף שהתקבל מהביטוי האלגברי מתלכד עם הגרף שמתקבל מהסימולציה? 
• יש לדון בביטויים האלגבריים השונים המתארים את הקשר בין האורך לשטח שהתלמידים הציעו.
• האם תלמידים השתמשו בביטוי האלגברי שהתקבל במשימה הקודמת (המתאר את הקשר בין האורך לרוחב השדה)?
• האם השדות שהתלמידים הציעו עונים על שני התנאים הנתונים: עונה על דרישות הועד וגם בעל שטח קטן יותר משטח השדה הנתון?
• יש לדון בקשר בין הייצוגים השונים: בין הגרף המתקבל מהסימולציה והנקודות המתקבלות במערכת הצירים לבין התיאור המילולי. כלומר יש לוודא שהתלמידים מבינים שהנקודות הכתומה והירוקה מתקבלות כתוצאה מהערכים שהם כתבו במידות השדה, ושנקודות אלה צריכות להיות על הגרף המתקבל מהסימולציה. 

במשימה הרביעית, בדרך כלל בהינתן היקף של מלבן (בלי מחיצה), השטח הגדול ביותר מתקבל כשהמלבן הוא ריבוע. כלומר רוב התלמידים יודעים שריבוע הוא המלבן בעל השטח המקסימלי, אבל זה לא נכון במקרה הנתון כשיש מחיצה באמצע.

לכן, המטרה של המשימה הזו היא לתת לתלמידים להתמודד עם התפיסה השגויה הזו ולמצוא דוגמאות של מלבנים עם מחיצה שיש להם שטח גדול יותר משל הריבוע. 

• לגבי טענה 1+2: יש להדגיש את הנתון שיש מחיצה באמצע השדה ולדון בתפיסה השגויה שהשטח הגדול ביותר מתקבל כשהמלבן הוא ריבוע (בדרך כלל בהינתן היקף של מלבן (בלי מחיצה), השטח הגדול ביותר מתקבל כשהמלבן הוא ריבוע. כלומר רוב התלמידים יודעים שריבוע הוא המלבן בעל השטח המקסימלי, אבל זה לא נכון במקרה הנתון כשיש מחיצה באמצע).
• לגבי טענה 3: כדי להפריך טענה זו, צריך למצוא את השטח המקסימלי לפי הגרף ולראות שזה השטח הנתון לכן אין שדה שיש לו שטח גדול יותר ועונה על התנאים. 
• על מנת למצוא את השטח המקסימלי, יש לדון עם התלמידים לגבי השלבים הבאים: יש להבין שהטווח של אורך השדה נע בין 0 ל 210 (האורך של גדר הרשת החשמלית), ולכן הערך האמצעי של אורך השדה הוא 52.5 שבו מתקבל השטח המקסימלי (לפי תכונת הסימטריות של הגרף). לאחר מכן צריך לחשב את הרוחב, לכתוב את הערך ואז ייחושב השטח באופן אוטומטי (שהוא 1837.5 מ"ר).

במשימה החמישית,  המטרה היא להבין שהפונקציה הריבועית היא סימטרית ולהשתמש בתכונת הסימטריה, כלומר להבין שלכל נקודה (חוץ מהמקסימום) יש נקודה סימטרית: ערכי ה-X שונים אך ערכי ה-Y שווים.

• יש לדון בתכונות הפונקציה הריבועית ובפרט בסימטריות שלה, כלומר להבין שלכל נקודה (חוץ מהמקסימום) יש נקודה סימטרית: ערך ה-X שונה אך ערך ה-Y שווה.
• יש לשים לב לדוגמאות של התלמידים לטענה 3, במקרה ונכתב ערך מקורב לאורך המקיים את הטענה (כלומר אחד הערכים 51, 52, 53, 54)  זה יכול להעיד שהתלמיד קרא את המקסימום בגרף אבל לא ידע איך לחשב אותו בדיוק. 

במשימה השישית, המטרה היא להבין את הקשר בין היקף השדה לשטחו, להבין את הקשר בין פונקציה ריבועית לפונקציה קווית ולמצוא מצבים הדדיים שונים לפי התנאים הנתונים.

• האם תלמידים נעזרו בכתיבת ביטויים אלגבריים המתארים את השטח בהתאם לאורך ואת ההיקף בהתאם לאורך?
• יש לדון בקשר בין היקף השדה לשטחו, כלומר לדון בקשר בין פונקציה ריבועית לפונקציה קווית.
• יש לסכם ולדון במצבים ההדדיים השונים בין פונקציה ריבועית לפונקציה קווית עולה.