הפעילות עוסקת בשוויון שטחים של מצולעים כלשהם.

נושא הפעילות הוא סביב קבוצת יזמים המעוניינים לחלק מגרש שבמרכזו יש אגם למספר חלקות שוות שטח. פעילות זו היא המשך של פעילות "שווה בשווה לגורמים של 8".

נושא מתוכנית הלימודים:  משולשים  + שטחים + חפיפת משולשים

מתאימה לכיתות: ח'- ט'

ידע נדרש: 

• שטח משולש
• חיבור שטחים
• חפיפת משולשים

שלב העברה: 

הפעילות עוסקת בזיהוי משולשים שווי שטח לפי צלע וגובה לצלע, חיבור שטחים ושטחי מצולעים כלשהם. כמו כן, ישנה התייחסות לחפיפות של משולשים ומרובעים.

נושא שטח משולש נלמד בבית ספר יסודי ומתעמקים בו בכיתה ז' ביחד עם נושא שטחים של מצולעים כלשהם:

"המושג 'שטח' מוכר לתלמידים מבית הספר היסודי, אולם עקרונותיו עדיין אינם מובנים לרבים מהם."  (מתוך תוכנית הלימודים – עמ' 18)

"צורות חופפות שוות בשטחן, אבל צורות ששטחן שווה אינן בהכרח חופפות." (מתוך תוכנית הלימודים – עמ' 18)

"יש ללמוד לחשב את שטחו של מצולע על ידי חלוקתו למצולעים שאת שטחם אנחנו יודעים לחשב" (מתוך תוכנית הלימודים – עמ' 31)

נושא חפיפת משולשים נלמד בכיתה ח', כך שלפי תוכנית הלימודים:

"יש ללמוד לזהות משולשים חופפים על פי שלושה נתונים מתאימים. " (מתוך תוכנית הלימודים – עמ' 65)

 "יש לזהות בכלים קדם-דדוקטיביים משולשים החופפים זה לזה….. יש להבין כיצד לברר האם הנתונים לגבי משולשים אלה תואמים לאחד ממשפטי החפיפה" (מתוך תוכנית הלימודים – עמ' 116)

לכן פעילות זו מתאימה להעברה כפעילות תרגול בכיתה ח'-ט' עבור תלמידים אשר למדו את נושא חפיפת משולשים. 

דוגמאות לפתרונות

נקודות לדיון והדגשים לעבודה עם הפעילות:

המטרה של פעילות "שווה בשווה לגורמים של 30" היא לדון כיצד קובעים שמרובעים כלשהם (לאו דווקא מרובעים שדנים בהם בבית ספר) הם שווי שטח. בשונה מהפעילות המקדימה "שווה בשווה לגורמים של 8" אשר בה מפרקים מרובעים למשולשים, בפעילות זו תלמידים מפרקים מצולעים כלשהם למשולשים שווי שטח. 

גם פעילות זו עוסקת בזיהוי משולשים שווי שטח לפי צלע וגובה לצלע, ובחיבור שטחים (שטחי שני משולשים היוצרים שטח מרובע). כמו כן, ישנה התייחסות לחפיפות של מרובעים.

משימה 1

• • יש לדון באפשרויות השונות (אחד מקטעי החלוקה עובר באמצע צלע הריבוע, אחד מקטעי החלוקה עובר בקודקוד הריבוע)  ולנסות להגיע לכלל/לתנאי שצריך להתקיים על מנת לקבל חלקות עם שטחים שווים (הכלל: סכום הצלעות שעל היקף הריבוע צריך להיות שווה כלומר 60/3=20 ).
  • במקרה שאחד מקטעי החלוקה עובר באמצע צלע הריבוע – מה מאפיין שני הקטעים האחרים?  (צריכים להיות באותו מרחק – למה?)
  • איך ניתן להגיע לדוגמה תומכת באפשרות ג ? כלומר שקטעי החלוקה לא עוברים באמצע צלע הריבוע ולא בקודקוד הריבוע וגם שלושת החלקות שוות שטח? (תשובה: אחרי שמוצאים תשובה תומכת באחת האפשרויות א או ב, מזיזים כל קטעי החיתוך באותה מידה לאותו כיוון)

• יש לעורר דיון לגבי אופן הוכחת שוויון השטחים:

(א) ניתן להוכיח מקרה א באמצעות חישובי שטחים של המשולשים והמלבנים המתקבלים מפירוק המצולעים. 

(ב) ניתן להוכיח מקרה ב באמצעות פירוק המצולעים המתקבלים למשולשים שווי שטח. 

(ג) ניתן להוכיח מקרה ג באמצעות חישובי שטחים של המשולשים והמלבנים המתקבלים מפירוק המצולעים.  

משימה 2 

• • יש לדון באפשרויות השונות (אחד מקטעי החלוקה עובר באמצע צלע הריבוע, אחד מקטעי החלוקה עובר בקודקוד הריבוע)  ולנסות להגיע לכלל/לתנאי שצריך להתקיים על מנת לקבל חלקות עם שטחים שווים (הכלל: סכום שתי הצלעות שעל היקף הריבוע צריך להיות שווה כלומר 60/5=12 ).

• יש לעורר דיון לגבי אופן הוכחת שוויון השטחים – באמצעות פירוק המצולעים המתקבלים למשולשים שווי שטח.
• ניתן להשתמש בחפיפת משולשים כדי להוכיח את שוויון שטחיהם.
• במקרה ומתקבלים מצולעים חופפים וגם שווי שטח, האם הזזת כל קטעי החיתוך באותה מידה לאותו כיוון ששומרת על "שוויון בשטחים" מאפשרת גם שמירה על "חפיפות המצולעים" ? 

משימה 3 

• • יש לדון באפשרויות השונות (שניים מקטעי החלוקה יוצרים אלכסון בריבוע, שניים מקטעי החלוקה חוצים צלעות נגדיות בריבוע)  ולנסות להגיע לכלל/לתנאי שצריך להתקיים על מנת לקבל חלקות עם שטחים שווים (הכלל: סכום שתי הצלעות שעל היקף הריבוע צריך להיות שווה כלומר 60/6=10 ).

• יש לעורר דיון לגבי אופן הוכחת שוויון השטחים – באמצעות פירוק המצולעים המתקבלים למשולשים שווי שטח.
• כמה זוגות של חלקות חופפות מתקבלים במקרה והמגרש חולק לחלקות שוות שטח? האם ניתן לחלק בצורה שונה ולשמור על שוויון השטחים אך יתקבל רק זוג אחד של חלקות חופפות? 

משימה 4

• מתי מקבלים זוג של חלקות חופפות כאשר מחלקים את המגרש ל 3 חלקות שוות שטח? 
• מתי מקבלים בדיוק 2 זוגות של חלקות חופפות כאשר מחלקים את המגרש ל 5 חלקות שוות שטח? 
• כמה זוגות של חלקות חופפות מתקבלים כאשר מחלקים את המגרש ל 6 חלקות שוות שטח? האם אפשר לקבל פחות מ- 3 זוגות חופפות? 
• אפשר לדון בהוכחת החפיפה של החלקות.