הפעילות עוסקת בשוויון שטחים של מרובעים כלשהם.

נושא הפעילות הוא סביב קבוצת יזמים המעוניינים לחלק מגרש שבמרכזו יש אגם למספר חלקות שוות שטח.

נושא מתוכנית הלימודים: משולשים + שטחים + חפיפת משולשים

מתאימה לכיתות: ח'-ט'

ידע נדרש: 

• שטח משולש
• חיבור שטחים
• חפיפת משולשים

שלב העברה: 

הפעילות עוסקת בזיהוי משולשים שווי שטח לפי צלע וגובה לצלע, חיבור שטחים ושטחי מצולעים כלשהם. כמו כן, ישנה התייחסות לחפיפות של משולשים ומרובעים.

נושא שטח משולש נלמד בבית ספר יסודי ומתעמקים בו בכיתה ז' ביחד עם נושא שטחים של מצולעים כלשהם:

"המושג 'שטח' מוכר לתלמידים מבית הספר היסודי, אולם עקרונותיו עדיין אינם מובנים לרבים מהם."  (מתוך תוכנית הלימודים – עמ' 18)

"צורות חופפות שוות בשטחן, אבל צורות ששטחן שווה אינן בהכרח חופפות." (מתוך תוכנית הלימודים – עמ' 18)

"יש ללמוד לחשב את שטחו של מצולע על ידי חלוקתו למצולעים שאת שטחם אנחנו יודעים לחשב" (מתוך תוכנית הלימודים – עמ' 31)

נושא חפיפת משולשים נלמד בכיתה ח', כך שלפי תוכנית הלימודים:

"יש ללמוד לזהות משולשים חופפים על פי שלושה נתונים מתאימים. " (מתוך תוכנית הלימודים – עמ' 65)

 "יש לזהות בכלים קדם-דדוקטיביים משולשים החופפים זה לזה….. יש להבין כיצד לברר האם הנתונים לגבי משולשים אלה תואמים לאחד ממשפטי החפיפה" (מתוך תוכנית הלימודים – עמ' 116)

לכן פעילות זו מתאימה להעברה כפעילות תרגול בכיתה ח'-ט' עבור תלמידים אשר למדו את נושא חפיפת משולשים. 

דוגמאות לפתרונות

נקודות לדיון והדגשים לעבודה עם הפעילות:

המטרה של הפעילות היא לדון כיצד קובעים שמרובעים כלשהם (לאו דווקא מרובעים שדנים בהם בבית ספר) הם שווי שטח. כדי לעשות את זה, תלמידים מפרקים מרובעים למשולשים שווי שטח. 

לכן, הפעילות עוסקת בזיהוי משולשים שווי שטח לפי צלע וגובה לצלע, ובחיבור שטחים (שטחי שני משולשים היוצרים שטח מרובע).

כמו כן, ישנה התייחסות לחפיפות של מרובעים – איך קובעים חפיפת מרובעים? מה הם התנאים המספיקים כדי לקבוע ששני מרובעים חופפים (האם מספיק חלק מהצלעות? חלק מהזוויות?…)

במשימה 1, יש לדון באפשרויות השונות: 

• מקרה 1: המגרש חולק ע"י אלכסון (חיתוך לשני משולשים שווה שטח) 
• מקרה 2:  קטעי החיתוך חוצים צלעות נגדיות (חיתוך לשני מלבנים שווה שטח)
• מקרה 3: חיתוך לשני טרפזים שווה שטח (לא אלכסון ולא חוצה צלעות נגדיות). במקרה זה – דונו בתנאי שצריך להתקיים על מנת לקבל חלקות עם שטחים שווים.

במשימה 2 יש לדון באפשרויות השונות לחלוקת המגרש: ע"י שני אלכסונים (חיתוך לארבעה משולשים שווי שטח), ע"י ארבעה קטעי חיתוך החוצים את הצלעות הנגדיות (חיתוך לארבעה ריבועים שווי שטח), וחיתוך לארבעה מרובעים שווי שטח. 

במקרה 3, מה הוא התנאי שצריך להתקיים על מנת לקבל חלקות עם שטחים שווים?

במשימה 3, יש לדון באפשרויות השונות לחלוקת המגרש: חיתוך לשמונה משולשים שווי שטח באמצעות שני אלכסונים ושני חוצי צלעות נגדיות, וחיתוך לארבעה מרובעים חופפים וארבעה משולשים חופפים – כולם שווי שטח.

ישנן הרבה דוגמאות המקיימות את מקרה 2. ניתן להוכיח את שוויון השטחים של המרובעים לפי חיתוך למשולשים עם בסיסים וגבהים שווים.

במשימה 4,  יש לדון בכמה אפשרויות שונות לחלוקת המגרש לפי התנאים הנתונים: 

1. כדי שכל החלקות במגרש יהיו משולשים חופפים – ישנן 2 אפשרויות בלבד (אחת בחיתוך ב4 קטעים ואחת בחיתוך ב8 קטעים).
2.  כדי שרק חצי משטח המגרש יחולק לחלקות של מרובעים חופפים – ישנן הרבה אפשרויות אך כולן בחיתוך ב8 קטעים.

• במידה והתלמידים לא הגיעו לכלל לקבלת חלקות שוות שטח במשימות הקודמות, יש לדון בזה במשימה זו במהלך פתרון תיאור 2 (הכלל: סכום הצלעות שעל היקף הריבוע צריך להיות שווה).  
• בתיאור 1 – למה המשולשים חופפים?
• בתיאור 2 – למה המרובעים חופפים?