מלחמת קוביות
פעילות על משחק מלחמת קוביות בו מציינים מספרים שונים על צדדים של קוביות הוגנות, ויוצרים מצבים של סיכויים שווים ושונים לניצחון במשחק עבור קוביות שונות.
קישור לכיתת התנסות
המטרה הפדגוגית של פעילות זו היא ההתמקדות באסטרטגיות השונות של התלמידים לסימון מספרים על הפאות של קוביות הוגנות כדי ליצור מצבים של סיכויים שווים ושונים לניצחון במשחק עבור קוביות שונות.
מודל המטריצה הדו ממדית (הסימולציה) מאפשר הסתכלות על ההסתברויות בהיבט של שטח. המשימה הראשונה נותנת לתלמיד להתנסות באופן אינטואיטיבי.
המשימה השנייה מציגה מודל שבעזרתו התלמיד יכול לשכלל את מה שעשה באופן אינטואיטיבי במשימה הראשונה.
במשימה השלישית נותנים להם להשתמש במודל אבל בסיטואציה שהסיכוי של שני השחקנים לנצח לא שווה וכאן מספיק לתכנן ששטח הצבוע בכתום יהיה גדול יותר.
במשימה הרביעית יש עלייה ברמה בשימוש במודל כי צריך להגיע לשטח מסויים שהוא רבע. לכן זה יכול להיות יותר מורכב לתלמיד לתכנן איך לכתוב את המספרים.
במשימה החמישית יש הכללה ל-3 קוביות. במשימה הזו על התלמיד לתכנן את המספרים כך שהשטח הצבוע בצבע אחד בכל אחת משלושת הטבלאות יהיה שווה לשטח הצבוע בצבע השני.
במשימה השישית שחקן ב צריך לתכנן בצורה אסטרטגית את סימון המספרים כך שלא משנה מה שחקן א בוחר, שחקן ב תמיד ינצח.
משימה 1: לסרטון הדרכה לחצו כאן
להעריך את היכולת של התלמיד לסדר את המספרים לפי הסיטואציה המתוארת תוך התייחסות לאסטרטגיות שונות.
התלמיד מתבקש לכתוב את המספרים 1-12 על הקוביות כך שלשני השחקנים יהיה אותה הסתברות לנצח בהטלת שתי הקוביות.
חשוב להדגיש בדיון אחרי המשימה הזו, שלמרות שההסתברות לנצח היא שווה, יכול להיות שבמשחק מסויים אותו שחקן ינצח תמיד. יש עניין של מזל גם.
משימה 2: לסרטון הדרכה לחצו כאן
להעריך את היכולת של התלמיד להשתמש במטריצה דו ממדית ובמודל השטח כדי לארגן נתונים לפי הסיטואציה המתוארת.
התלמיד מתבקש לכתוב את המספרים 1-12 על הקוביות כך שלשני השחקנים יהיה אותה הסתברות לנצח בהטלת שתי הקוביות.
במטריצה הדו-ממדית השורה הצהובה מייצגת את ששת הפאות של הקובייה הצהובה, והעמודה הכתומה מייצגת את ששת הפאות של הקובייה הכתומה.
המשבצות שבמטריצה נצבעות לפי מי מנצח באותה הטלה. למשל אם השחקן עם הקובייה הכתומה יקבל 12 והשחקן עם הקובייה הצהובה יקבל 1 אז המשבצת תופיע בצבע כתום – וזה אומר שהשחקן עם הקוביה הכתומה הוא זה שמנצח בהטלה הזו.
משימה 3: לסרטון הדרכה לחצו כאן
להעריך את היכולת של התלמיד להשתמש במטריצה דו ממדית ובמודל השטח כדי לחשב הסתברויות.
התלמיד מתבקש לכתוב את המספרים 1-12 על הקוביות כך שלשחקן עם הקובייה הכתומה יהיה הסתברות גדולה יותר לנצח בהטלת שתי הקוביות.
משימה 4: לסרטון הדרכה לחצו כאן
להעריך את היכולת של התלמיד להשתמש במודל השטח כדי לכתוב מספרים על הקוביות כך שלאחד השחקנים יהיה סיכוי גדול יותר לנצח.
התלמיד מתבקש לכתוב את המספרים 1-12 על הקוביות כך שלשחקן עם הקובייה הכתומה יהיה הסתברות של רבע לנצח בהטלת הקובייה שלו.
משימה 5: לסרטון הדרכה לחצו כאן
להעריך את יכולת ההכללה של התלמידים ממצב פשוט למצב מורכב יותר (התלמיד צריך להכליל ל-3 קוביות מההתנסות במשימות לגבי 2 קוביות).
התלמיד מתבקש לתכנן איך לכתוב את המספרים 1-18 על כל אחת מפאות שלושת הקוביות כך שיהיה אותו סיכוי לנצח.
ישנן שתי אפשרויות: אחת שלא תלויה בקובייה שיבחר השחקן הראשון, ואפשרות אחרת שהיא כן תלויה בקוביה שיבחר השחקן הראשון.
(ראו דוגמאות לפתרונות אפשריים למטה)
משימה 6: לסרטון הדרכה לחצו כאן
להעריך את יכולת ההכללה של התלמידים ממצב פשוט למצב מורכב יותר
שבו שחקן ב יכול לכתוב את המספרים על הקוביות כרצונו, ולמרות ששחקן א יכול לבחור ראשון כל קובייה מבין השלוש, שחקן ב תמיד ינצח.
הסתברות היא תורה מתמטית בעלת השלכות שימושיות לחיי היומיום. היא עוסקת בהתרחשויות עתידיות הכרוכות באי-ודאות. הפרק 'הסתברות' בכיתה ח' כולל היכרות ראשונית עם תחום תוכן זה, במטרה להקנות לתלמידים ידע בסיסי. העמקה בתחום זה נעשת בכיתה ט' ובחטיבה העליונה, כאשר נלמד הנושא הסתברות מותנית כלומר כשנוסף מידע חלקי על תוצאת הניסוי. לכן פעילות זו מתאימה להעברה בסוף כיתה ח' כפעילות אתגר, או בכיתה ט' כפעילות מסכמת לנושא הסתברות מותנית, או בכיתה י' כחזרה או כפתיח להסתברות מותנית של מאורעים בלתי תלויים.
(ראה עמוד 86 ועמוד 105 בתוכנית הלימודים של חט"ב)
הבנת המשמעות של ההסתברות הן כמדד למידת ההיתכנות להתרחשות מאורע, והן כשכיחות היחסית של המאורע בעת שחוזרים על אותו הניסוי מספר רב של פעמים.
חישוב הסתברויות של מאורעות בניסויים שבהם קיימת סימטרייה ניכרת לעין בין כל תוצאות הניסוי.
הכרת מודל השטח לארגון הנתונים ולחישוב ההסתברות של מאורעות בלתי תלויים וזרים.
במקרה והתלמידים לא מכירים את מודל השטח אז אפשר להשתמש בפעילות הזאת כדי ללמד את זה.
משימה 1:
מאפיין נכונות:
יש לשני השחקנים אותו הסיכוי לנצח
מאפייני עבודה:
- המספרים 1,2,3,10,11,12 הופיעו על אחת הקוביות
- המספרים 1,3,5,7,11,12 הופיעו על אחת הקוביות
- המספרים 2,4,6,7,9,11 הופיעו על אחת הקוביות
- המספרים 1,3,6,7,10,12 הופיעו על אחת הקוביות
או להחליף את הכל במאפיין אחד : "המספרים חולקו לפי זוגות סימטריים"
משימה 2: אותם מאפיינים כמו משימה 1
משימה 3:
מאפיין נכונות:
יש לקובייה הכתומה סיכוי גדול יותר לנצח.
מאפייני עבודה:
ההסתברות שהקובייה הכתומה תנצח היא 1
ההסתברות שהקובייה הכתומה תנצח היא בין חצי לשני שלישים
ההסתברות שהקובייה הכתומה תנצח היא בין שני שלישים ל-1
הסתברות הנצחון שווה לשתי הקוביות.
ההסתברות שהקובייה הצהובה תנצח היא גדולה יותר.
משימה 4:
מאפיין נכונות:
יש לקובייה הכתומה סיכוי סיכוי של בדיוק 1/4 לנצח.
מאפייני עבודה:
המספר 12 נמצא בקובייה הכתומה
המספר 1 לא נמצא בקובייה הכתומה
רק 2 צדדים בקובייה הכתומה מתחלקים בנצחונות (12,8).
משימה 5:
מאפיין נכונות:
לשני השחקנים אותו הסיכוי לנצח
מאפייני עבודה:
ההסתברות לנצח תלויה בבחירת הקובייה (יש יתרון לאחד השחקנים).
משימה 6:
מאפיין נכונות: הסיכוי של שחקן ב לנצח גדול יותר בלי קשר לבחירת הקובייה של שחקן א.
מאפייני עבודה:
לכל קובייה יש קובייה אחת לפחות אותה היא מנצחת
יש קובייה שמנצחת לכל היותר שתי קוביות אחרות
משימה 1:
בדיון הכיתתי כדאי לדון במשמעות של המושג "משחק הוגן" – כלומר שלשתי הקוביות הכתומה והצהובה יהיה אותו הסיכוי לנצח כלומר הסתברות שקובייה הכתומה תנצח (1/2) שווה להסתברות שהקובייה הצהובה תנצח (1/2).
בדיון הכיתתי אפשר גם להתמקד באסטרטגיות של התלמידים לסימון מספרים על דפנות הקוביות כדי להגיע למצב של שהסתברות של המאורע "קבלת מספר גדול יותר בקובייה הצהובה" שווה להסתברות של "קבלת מספר גדול יותר בקובייה הכתומה". למשל האסטרטגיות האלה:
אסטרטגיה א – סימון שלושת המספרים הקטנים ביותר ושלושת המספרים הגדולים ביותר מבין המספרים הטבעיים 1-12 על אותה הקובייה וסימון שאר המספרים על הקובייה האחרת :
אסטרטגיה ב- הזוג הקטן ביותר, הזוג האמצעי והזוג הגדול ביותר מבין המספרים הטבעיים 1-12 על אותה הקובייה ושאר המספרים על הקובייה האחרת.
אסטרטגיה ג –
הזוגיים הקטנים ביותר והאי זוגיים הגדולים ביותר על אותה קובייה ושאר המספרים על הקובייה האחרת.
שאלת דיון מעניינת כאן יכולה להיות האם אפשרי שהמספרים 1 ו- 12 לא יופיעו באותה קובייה .
משימה 2:
איך מארגנים נתונים במטריצה דו ממדית ומשתמשים במודל השטח. אפשר לאפיין את הדוגמאות באסטרטגיות א-ג (שהוצגו בפתרון משימה 1) בכך שבכל המקרים האלה השטח הכללי חולק לשני חלקים כתום וצהוב חופפים זה לזה.
אסטרטגיה א- סימון שלושת המספרים הקטנים ביותר ושלושת המספרים הגדולים ביותר מבין המספרים הטבעיים 1-12 על אותה הקובייה וסימון שאר המספרים על הקובייה האחרת:
משימה 3:
- מהי המשמעות של הסתברות 1 לעומת הסתברות אחרת.
במקרה הראשון המשמעות היא שהמאורע הקובייה הכתומה תנצח הוא מאורע ודאי לעומת זאת גם כאשר ההסתברות קרובה ל- 1 עדיין יתכן שהקובייה הכתומה תפסיד.
- לדון במספר הסתברויות השונות שיתכנו כך שלקובייה הכתומה יהיה סיכוי גדול יותר לנצח. ההסתברויות השונות הן:
משימה 4:
- האפשרויות השונות להסתברות רבע על ידי צביעות שונות של 9 משבצות (9/36=¼). אפשר גם לשאול כמה אפשרויות שונות כאלה יש.
הנה דוגמה לניסיון כזה של ספירה שיטתית:
כמו כן כדאי לדון בסימונים המתאימים לחלוקת השטח ל- 4 צורות חופפות
משימה 5:
- הכללה של פתרון משימה 2, משתי קוביות ל- 3 קוביות, כך שלשני השחקנים יהיה אותו הסיכוי לנצח.
- איך מנטרלים את השפעת "מה בוחר השחקן הראשון", שההסתברות לנצח לא תהיה תלויה בבחירת הקובייה.
- הדגשת המצבים בהם אסור לשחקן א לבחור קובייה בצבע מסויים (ראו בדוגמאות לפתרון משימה 5)
משימה 6:
- לדון במצבים הנוצרים או האפשרויות שיכולות להתקיים אחרי בחירת מספרים לקוביות בצבעים השונים.
