המטרה של פעילות "שווה בשווה" היא לדון כיצד קובעים שמרובעים כלשהם (לאו דווקא מרובעים שדנים בהם בבית ספר) הם שווי שטח. כדי לעשות את זה, תלמידים מפרקים מרובעים למשולשים שווי שטח. 

לכן, הפעילות עוסקת בזיהוי משולשים שווי שטח לפי צלע וגובה לצלע, ובחיבור שטחים (שטחי שני משולשים היוצרים שטח מרובע).

כמו כן, ישנה התייחסות לחפיפות של מרובעים – איך קובעים חפיפת מרובעים? מה הם התנאים המספיקים כדי לקבוע ששני מרובעים חופפים (האם מספיק חלק מהצלעות? חלק מהזוויות?…)

הקדמה למשימות:

קבוצת יזמים קנו מגרש ריבועי כך שמסביב למרכז המגרש יש אגם.

היזמים שוקלים  לחלק את המגרש לחלקות שוות שטח באמצעות קטעים היוצאים ממרכז השטח הריבוע אל צלעות השטח, כך שיתקבלו חלקות שוות שטח שכל אחת מהן כוללת חלק מהאגם.

משימה 1

דן היזם הציע לחלק את המגרש לשתי חלקות שוות שטח באמצעות שני קטעים היוצאים ממרכז השטח הריבועי אל צלעות הריבוע (ראו ביישומון המצורף). 

הזיזו את הנקודות הכחולות ביישומון והגישו שלוש תכניות שונות לחלוקת השטח לפי ההצעה של דן.

משימה 2  

יואב מקבוצת היזמים הציע לחלק את המגרש לארבע  חלקות שוות שטח באמצעות ארבע  קטעים היוצאים ממרכז השטח הריבוע אל צלעות הריבוע (ראו סרטוט ביישומון המצורף).

הזיזו את הנקודות הכחולות בסרטוט  והגישו שלוש תכניות שונות לחלוקת השטח לפי ההצעה של יואב.

משימה 3 

מיה מקבוצת היזמים הציע לחלק את המגרש לשמונה  חלקות שוות שטח באמצעות שמונה קטעים היוצאים ממרכז השטח הריבוע אל צלעות הריבוע (ראו סרטוט ביישומון המצורף).

הזיזו את הנקודות הכחולות בסרטוט  והגישו שלוש תכניות שונות לחלוקת השטח לפי ההצעה של מיה.

משימה 4

היזמים הציעו לחלק את המגרש ל- 4 או 8 חלקות שוות שטח באמצעות קטעים היוצאים ממרכז השטח הריבועי אל צלעות הריבוע (ראו סרטוט ביישומון המצורף) כך שבחלוקה יתקבלו חלקות עם מאפיינים מסוימים:

א.    כל החלקות במגרש הם משולשים חופפים

ב.    רק חצי משטח המגרש מחולק לחלקות של מרובעים חופפים

 בחרו את מספר הקטעים המחלקים את המגרש, לאחר מכן הזיזו את הנקודות הכחולות ביישומון והגישו דוגמה לכל מאפיין של חלוקה. 

הפעילות עוסקת בזיהוי משולשים שווי שטח לפי צלע וגובה לצלע, חיבור שטחים ושטחי מצולעים כלשהם. כמו כן, ישנה התייחסות לחפיפות של משולשים ומרובעים.

נושא שטח משולש נלמד בבית ספר יסודי ומתעמקים בו בכיתה ז' ביחד עם נושא שטחים של מצולעים כלשהם:

"המושג 'שטח' מוכר לתלמידים מבית הספר היסודי, אולם עקרונותיו עדיין אינם מובנים לרבים מהם."  (מתוך תוכנית הלימודים – עמ' 18)

"צורות חופפות שוות בשטחן, אבל צורות ששטחן שווה אינן בהכרח חופפות." (מתוך תוכנית הלימודים – עמ' 18)

"יש ללמוד לחשב את שטחו של מצולע על ידי חלוקתו למצולעים שאת שטחם אנחנו יודעים לחשב" (מתוך תוכנית הלימודים – עמ' 31)

 נושא חפיפת משולשים נלמד בכיתה ח', כך שלפי תוכנית הלימודים:

"יש ללמוד לזהות משולשים חופפים על פי שלושה נתונים מתאימים. " (מתוך תוכנית הלימודים – עמ' 65)

 "יש לזהות בכלים קדם-דדוקטיביים משולשים החופפים זה לזה….. יש להבין כיצד לברר האם הנתונים לגבי משולשים אלה תואמים לאחד ממשפטי החפיפה" (מתוך תוכנית הלימודים – עמ' 116)

לכן פעילות זו מתאימה להעברה כפעילות תרגול בכיתה ח'-ט' עבור תלמידים אשר למדו את נושא חפיפת משולשים. 

שטח משולש

חיבור שטחים

חפיפת משולשים

משימה 1

 דרישות המשימה: שתי החלקות שוות שטח      

מאפייני עבודה: 

המגרש חולק ע"י אלכסון    

 קטעי החיתוך חוצים צלעות נגדיות     

משימה 2 

 דרישות המשימה: ארבעת החלקות שוות שטח      

מאפייני עבודה: 

אחד הקטעים חוצה צלע הריבוע

אחד הקטעים עובר דרך אלכסון הריבוע

משימה 3

 דרישות המשימה: שמונת החלקות שוות שטח      

מאפייני עבודה: 

אחד הקטעים חוצה צלע הריבוע

אחד הקטעים עובר דרך אלכסון הריבוע

משימה 4

נבחר חיתוך ב- 4 קטעים

ארבעת החלקות שוות שטח

נבחר חיתוך ב- 8 קטעים

שמונת החלקות שוות שטח

כל החלקות במגרש הם משולשים חופפים

רק חצי משטח המגרש מחולק לחלקות של מרובעים חופפים

יותר מחצי משטח המגרש הוא מרובעים חופפים

משימה 1

יש לדון באפשרויות השונות: 

• מקרה 1: המגרש חולק ע"י אלכסון (חיתוך לשני משולשים שווה שטח) 
• מקרה 2:  קטעי החיתוך חוצים צלעות נגדיות (חיתוך לשני מלבנים שווה שטח)
• מקרה 3: חיתוך לשני טרפזים שווה שטח (לא אלכסון ולא חוצה צלעות נגדיות). במקרה זה – דונו בתנאי שצריך להתקיים על מנת לקבל חלקות עם שטחים שווים.

משימה 2

יש לדון באפשרויות השונות לחלוקת המגרש: ע"י שני אלכסונים (חיתוך לארבעה משולשים שווי שטח), ע"י ארבעה קטעי חיתוך החוצים את הצלעות הנגדיות (חיתוך לארבעה ריבועים שווי שטח), וחיתוך לארבעה מרובעים שווי שטח. 

במקרה 3, מה הוא התנאי שצריך להתקיים על מנת לקבל חלקות עם שטחים שווים?

משימה 3

יש לדון באפשרויות השונות לחלוקת המגרש: חיתוך לשמונה משולשים שווי שטח באמצעות שני אלכסונים ושני חוצי צלעות נגדיות, וחיתוך לארבעה מרובעים חופפים וארבעה משולשים חופפים – כולם שווי שטח.

ישנן הרבה דוגמאות המקיימות את מקרה 2. ניתן להוכיח את שוויון השטחים של המרובעים לפי חיתוך למשולשים עם בסיסים וגבהים שווים.

משימה 4

• יש לדון בכמה אפשרויות שונות לחלוקת המגרש לפי התנאים הנתונים: 

1. כדי שכל החלקות במגרש יהיו משולשים חופפים – ישנן 2 אפשרויות בלבד (אחת בחיתוך ב4 קטעים ואחת בחיתוך ב8 קטעים).
2.  כדי שרק חצי משטח המגרש יחולק לחלקות של מרובעים חופפים – ישנן הרבה אפשרויות אך כולן בחיתוך ב8 קטעים.

• במידה והתלמידים לא הגיעו לכלל לקבלת חלקות שוות שטח במשימות הקודמות, יש לדון בזה במשימה זו במהלך פתרון תיאור 2 (הכלל: סכום הצלעות שעל היקף הריבוע צריך להיות שווה).  
• בתיאור 1 – למה המשולשים חופפים?
• בתיאור 2 – למה המרובעים חופפים?